Aplicaciones del Método de los Elementos Finitos

Análisis de elementos finitos del soporte de cojinete de una aeronave realizado con la plataforma basada en la nube SimScale

El método de elementos finitos comenzó con una promesa significativa en el modelado de varias aplicaciones mecánicas relacionadas con la ingeniería aeroespacial y civil. Las aplicaciones del método de los elementos finitos recién ahora están comenzando a alcanzar su potencial. Una de las perspectivas más interesantes es su aplicación en problemas acoplados tales como interacción fluido-estructura, problemas termomecánicos, termoquímicos, termoquímicos y mecánicos, biomecánica, ingeniería biomédica, piezoeléctrica, ferroeléctrica y electromagnética.

Se han propuesto muchos métodos alternativos en las últimas décadas, pero aún no se ha demostrado su aplicabilidad comercial. En resumen, ¡FEM acaba de aparecer en el radar!

Antes de comenzar con las ecuaciones diferenciales, es fundamental leer el artículo sobre FEA en SimWiki. Comienza con lo básico y progresa gradualmente a las ecuaciones diferenciales.

Ecuaciones Diferenciales Parciales (PDE)

En primer lugar, es importante comprender los diferentes géneros de PDE y su idoneidad para su uso con FEM. Comprender esto es particularmente importante para todos, independientemente de la motivación para usar el análisis de elementos finitos. Es fundamental recordar que FEM es una herramienta y cualquier herramienta es tan buena como su usuario.

Fig 01: Ecuación de Laplace en un anillo. Imagen de Fourthirtytwo [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], a través de Wikimedia Commons.

Las PDE se pueden clasificar como elípticas, hiperbólicas y parabólicas. Al resolver estas ecuaciones diferenciales, se deben proporcionar las condiciones iniciales y / o de contorno. Según el tipo de PDE, se pueden evaluar las entradas necesarias. Los ejemplos de PDE en cada categoría incluyen la ecuación de Poisson (elíptica), la ecuación de onda (hiperbólica) y la ley de Fourier (parabólica).

Hay dos enfoques principales para resolver PDE elípticas, a saber, los métodos de diferencias finitas (FDM) y los métodos variacionales (o de energía). FEM entra en la segunda categoría. Los enfoques variacionales se basan principalmente en la filosofía de minimización de energía.

Las PDE hiperbólicas se asocian comúnmente con saltos en las soluciones. Por ejemplo, la ecuación de onda es una PDE hiperbólica. Debido a la existencia de discontinuidades (o saltos) en las soluciones, se creía que la tecnología FEM original (o Método Bubnov-Galerkin) no era adecuada para resolver PDE hiperbólicas. Sin embargo, a lo largo de los años, se han desarrollado modificaciones para ampliar la aplicabilidad de la tecnología FEM.

Antes de concluir esta discusión, es necesario considerar la consecuencia de utilizar un marco numérico que no es adecuado para el tipo de PDE. Dicho uso conduce a soluciones que se conocen como “planteadas incorrectamente”. Esto podría significar que pequeños cambios en los parámetros del dominio conducen a grandes oscilaciones en las soluciones, o que las soluciones existen solo en una cierta parte del dominio o tiempo, que no son confiables. Las explicaciones bien planteadas se definen como aquellas en las que existe continuamente una solución única para los datos definidos. Por lo tanto, considerando la confiabilidad, es extremadamente importante obtener soluciones bien planteadas.

Principio de Minimización de Energía

¿Cómo funciona FEM? ¿Cuál es la principal fuerza impulsora? El principio de minimización de energía forma la columna vertebral principal del método de elementos finitos. En otras palabras, cuando se aplica una condición de contorno particular a un cuerpo, esto puede conducir a varias configuraciones pero, sin embargo, solo una configuración particular es realmente posible o lograda. Incluso cuando la simulación se realiza varias veces, prevalecen los mismos resultados. ¿Por qué esto es tan?

Fig 02: Representación del principio del trabajo virtual.

Esto se rige por el principio de minimización de energía. Establece que cuando se aplica una condición de contorno (como desplazamiento o fuerza), de las numerosas configuraciones posibles que puede tomar el cuerpo, sólo se elige aquella configuración donde la energía total es mínima.

Historia del método de los elementos finitos

Técnicamente, dependiendo de la perspectiva de uno, se puede decir que FEM tuvo sus orígenes en la obra de Euler, ya en el siglo XVI. Sin embargo, los primeros trabajos matemáticos sobre FEM se pueden encontrar en los trabajos de Schellback [1851] y Courant [1943].

FEM fue desarrollado de forma independiente por ingenieros para abordar problemas de mecánica estructural relacionados con la ingeniería aeroespacial y civil. Los desarrollos comenzaron a mediados de la década de 1950 con los artículos de Turner, Clough, Martin y Topp [1956], Argyris [1957] y Babuska y Aziz [1972]. Los libros de Zienkiewicz [1971] y Strang y Fix [1973] también sentaron las bases para el desarrollo futuro en FEM.

Una revisión interesante de estos desarrollos históricos se puede encontrar en Oden [1991]. Se puede encontrar una revisión del desarrollo de FEM durante los últimos 75 años en este artículo de blog: 75 años del método de elementos finitos.

Descripción Técnica del Método de Elementos Finitos

El método de elementos finitos es en sí mismo un curso semestral. En este artículo, se describe una descripción concisa del mecanismo de FEM. Considere un simple problema 1-D para representar las diversas etapas involucradas en FEA.

Forma Debil

Uno de los primeros pasos en FEM es identificar la PDE asociada con el fenómeno físico. La PDE (o forma diferencial) se conoce como forma fuerte y la forma integral se conoce como forma débil. Considere el PDE simple como se muestra a continuación. La ecuación se multiplica por una función de prueba v (x) en ambos lados y se integra con el dominio [0,1].

Ahora, usando la integración de partes, el LHS de la ecuación anterior se puede reducir a

Como puede verse, el orden de continuidad requerido para la función desconocida u (x) se reduce en uno. La ecuación diferencial anterior requería que u (x) fuera diferenciable al menos dos veces, mientras que la ecuación integral requiere que sea diferenciable solo una vez. Lo mismo ocurre con las funciones multidimensionales, pero las derivadas se reemplazan por gradientes y divergencia.

Sin entrar en matemáticas, el teorema de representación de Riesz puede probar que existe una solución única para u (x) para la integral y, por tanto, la forma diferencial. Además, si f (x) es suave, también asegura que u (x) sea suave.

Discretización

Una vez que se ha configurado la forma integral o débil, el siguiente paso es la discretización de la forma débil. La forma integral debe resolverse numéricamente y, por lo tanto, la integración se convierte en una suma que se puede calcular numéricamente. Además, uno de los objetivos principales de la discretización es también convertir la forma integral en un conjunto de ecuaciones matriciales que se pueden resolver utilizando teorías bien conocidas del álgebra matricial.

Fig 03: Mallado de engranajes en contacto

Como se muestra en la Fig. 03, el dominio se divide en pequeñas partes conocidas como “elementos” y el punto de esquina de cada elemento se conoce como un “nodo”. Las funciones desconocidas u (x) se calculan en los puntos nodales. Las funciones de interpolación se definen para cada elemento a interpolar, para valores dentro del elemento, utilizando valores nodales. Estas funciones de interpolación también se denominan a menudo funciones de forma o ansatz. Por tanto, la función desconocida u (x) se puede reducir a

donde nen es el número de nodos en el elemento, Ni y ui son la función de interpolación y las incógnitas asociadas con el nodo i, respectivamente. De manera similar, la interpolación se puede usar para las otras funciones v (x) yf (x) presentes en la forma débil, de modo que la forma débil se puede reescribir como

Los esquemas de suma se pueden transformar en productos matriciales y se pueden reescribir como

La forma débil ahora se puede reducir a una forma matricial [K] {u} = {f}

Tenga en cuenta que la función de prueba anterior v (x) que se había multiplicado ya no existe en la ecuación matricial resultante. También aquí [K] se conoce como la matriz de rigidez, {u} es el vector de incógnitas nodales y {R} es el vector residual. Más adelante, utilizando esquemas de integración numérica, como la cuadratura de Gauss o Newton-Cotes, las integraciones en la forma débil que forman la rigidez tangente y el vector residual también se manejan fácilmente.

Muchas matemáticas están involucradas en la decisión de elegir funciones de interpolación, lo que requiere el conocimiento de espacios funcionales (como Hilbert y Sobolev). Para obtener más detalles al respecto, consulte las referencias enumeradas en el artículo “¿Cómo puedo aprender el análisis de elementos finitos?” se recomiendan.

Solucionadores

Una vez que se han establecido las ecuaciones matriciales, las ecuaciones se pasan a un solucionador para resolver el sistema de ecuaciones. Dependiendo del tipo de problema, generalmente se utilizan solucionadores directos o iterativos. Una descripción más detallada de los solucionadores y cómo funcionan, así como consejos sobre cómo elegir entre ellos, están disponibles en el artículo del blog “¿Cómo elegir los solucionadores: directo o iterativo?”

Análisis de elementos finitos de una biela realizado con la plataforma basada en la nube SimScale

Diferentes Tipos de Método de Elementos Finitos

Como se discutió anteriormente, la tecnología FEM tradicional ha demostrado deficiencias en los problemas de modelado relacionados con la mecánica de fluidos y la propagación de ondas. Recientemente se han realizado varias mejoras para mejorar el proceso de solución y ampliar la aplicabilidad del análisis de elementos finitos a una amplia gama de problemas. Algunos de los importantes que todavía se utilizan incluyen:

Método de Elementos Finitos Extendido (XFEM)

El método de Bubnov-Galerkin requiere continuidad de desplazamiento entre elementos. Aunque problemas como el contacto, la fractura y el daño implican discontinuidades y saltos que no pueden manejarse directamente con el método de elementos finitos. Para superar esta deficiencia, XFEM nació en la década de 1990. XFEM funciona mediante la expansión de las funciones de forma con las funciones de pasos de Heaviside. Se asignan grados de libertad adicionales a los nodos alrededor del punto de discontinuidad para que se puedan considerar los saltos.

Método de Elementos Finitos Generalizado (GFEM)

GFEM se introdujo casi al mismo tiempo que XFEM en los años 90. Combina las características de los métodos tradicionales FEM y sin malla. Las funciones de forma se definen principalmente por las coordenadas globales y luego se multiplican por partición de unidad para crear funciones de forma elementales locales. Una de las ventajas de GFEM es la prevención de remallado alrededor de singularidades.

Método Mixto de Elementos Finitos

En varios problemas, como el contacto o la incompresibilidad, las restricciones se imponen utilizando multiplicadores de Lagrange. Estos grados de libertad extra que surgen de los multiplicadores de Lagrange se resuelven de forma independiente. El sistema de ecuaciones se resuelve como un sistema acoplado de ecuaciones.

Método de elementos finitos hp

hp-FEM es una combinación de refinamiento automático de malla (refinamiento h) y un aumento en el orden de polinomio (refinamiento p). Esto no es lo mismo que hacer refinamientos h y p por separado. Cuando se utiliza el refinamiento hp automático y un elemento se divide en elementos más pequeños (refinamiento h), cada elemento también puede tener diferentes órdenes polinomiales.

Método de elementos finitos de Galerkin discontinuo (DG-FEM)

DG-FEM ha mostrado una promesa significativa para utilizar la idea de elementos finitos para resolver ecuaciones hiperbólicas, donde los métodos tradicionales de elementos finitos han sido débiles. Además, también ha mostrado mejoras en la flexión y problemas incompresibles que se observan típicamente en la mayoría de los procesos de materiales. Aquí, se agregan restricciones adicionales a la forma débil que incluye un parámetro de penalización (para evitar la interpenetración) y términos para otro equilibrio de tensiones entre los elementos.